碰撞(Collision)

Q猫生活

发布时间:07-27 08:20

高中生对于物理最困惑的其中之一便是为何一简单的碰撞现象,却要学到陌生的动量(momentum)与冲量(impulse)。我们都知道大卡车与脚踏车对撞,脚踏车一定会反弹,但这仅限于两质量相差甚大之物体。如果是为两质量相近的物体碰撞,此时便无从猜出碰撞后之情况,更遑论想要定量分析碰撞后之结果。为了详细了解碰撞的现象,我们必须引入一物理量-动量,来描述之。

在此我们考虑理想情况[注1]:两物体碰撞时,只有双方之间互相施力,因属不受“外力”作用于此系统(两物体)的情况,我们可称此系统为「动量守恆」;另一方面,既不受外力,便不会有能量的进出,此为「能量守恆」。依据以上两关係,便可列出下列两方程式:

动量守恆:$$m_1v_1+m_2v_2=m_1v^{‘}_1+m_2v^{‘}_2~~~~~~~~~(1)$$

能量守恆:$$\displaystyle\frac{1}{2}m_1v^{2}_1+\frac{1}{2}m_2v^{2}_2=\frac{1}{2}m_1{v^{‘}_1}^2+\frac{1}{2}m_2{v^{‘}_2}^2$$

在此设两质量各为 $$m_1$$、$$m_2$$ 物体,其初速度各为 $$v_1$$、$$v_2$$;末速度各为 $$v^{‘}_1$$、$$v^{‘}_2$$。而对动量言之,是为向量物理量,理应加上向量符号,在此只考虑一维方向[注2]。可省略向量符号,并以正负号代替方向(如以水平轴为例,向右方为正值;向左方为负值)。改写上述联立方程:

$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{llr}m_1(v_1-v^{‘}_1)&=m_2(v^{‘}_2-v_2)&(2)\\m_1(v^2_1-{v^{‘}_1}^2)&=m_2({v^{‘}_2}^2-v^2_2)&(3)\end{array}\right .$$

再把 $$(3)/(2)\Rightarrow v_1+v^{‘}_1=v_2+v^{‘}_2~~~~~~~~~(4)$$

移项为 $$v^{‘}_1=v_2+v^{‘}_2-v_1$$ 代回 $$(1)$$ 式,可得 $$\displaystyle v^{‘}_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_2$$

同理,把 $$(4)$$ 式移项为 $$v^{‘}_2=v_1+v^{‘}_1-v_2$$ 代回 $$(1)$$ 式,

可得 $$\displaystyle v^{‘}_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1-\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_2$$

因此可得:$$\Rightarrow\left\{\begin{array}{ll} v^{‘}_1&=\displaystyle\ \frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_2\\ v^{‘}_2&=\displaystyle\frac{2m_1}{m_1+m_2}v_1-\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_2\end{array}\right .$$

我们就此结果考虑一些特殊的情况:

$$\textbf{I}$$:$$m_1=m_2$$、被撞物 $$m_2$$ 静止($$v_2=0$$ )。此条件代回结果式,可得:$$v^{‘}_1=v_2=0$$;$$v^{‘}_2=v_1$$。意味着两物体于碰撞后速度互换。常见例子为撞球时常使用的定桿。

$$\textbf{II}$$:$$m_1\gg m_2$$、被撞物 $$m_2$$ 静止($$v_2=0$$ )。此条件代回结果式,可得:$$v^{‘}_1\approx v_1$$;$$v^{‘}_2\approx 2v_1$$ 。意味着撞者碰撞前后几无改变,被撞者会以二倍速弹开。常发生例子为沙石车撞人的车祸;此时沙石车速度不变,司机若没有看到,通常是不会感觉到车故发生的。

$$\textbf{III}$$:$$m_2\gg m_1$$、被撞物 $$m_2$$ 静止($$v_2=0$$ )。此条件代回结果式,可得:$$v^{‘}_1\approx -v_1$$;$$v^{‘}_2\approx 0$$ 。意味着撞者会等速率反弹,被撞者几无感觉。简单例子为踢出足球去撞击墙壁,则足球被反弹而墙壁纹风不动!

最后,引述「物理学家的灵感抽屉」一书中的一段文章[注3],希冀可加深读者对于碰撞的看法:
女芭蕾舞者表演结束时,在一个半弯腿的姿势后,向上一跃二英尺。地球为了要平衡她的动量,也跟着轻轻朝后跳了一下。它的轨道向下移了一个十兆分之一的原子大小的距离(十亿兆分之一公分)。没有人会觉得,可就是这幺精确地移了一下。

[注1] 碰撞又分为弹性碰撞、非弹性碰撞及完全非弹性碰撞等,在此仅考虑无能量损耗的情况,即弹性碰撞。
[注2] 若考量二维的动量守恆,则可列出二式子:(以 $$x$$、$$y$$ 方向为例)

水平方向:$$m_1v_{1x}+m_2v_{2x}=m_1v^{‘}_{1x}+m_2v^{‘}_{2x}$$
铅直方向:$$m_1v_{1y}+m_2v_{2y}=m_1v^{‘}_{1y}+m_2v^{‘}_{2y}$$

[注3] 节录自物理学家的灵感抽屉-双人舞。

参考资料:
维基百科–碰撞  http://zh.wikipedia.org/zh-tw/碰撞



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